2차방정식 근의 공식

 

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2차방정식 근의 공식

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2차방정식 $�{�}^2+��+�=0$의 근을 구하는 공식은 다음과 같습니다:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

여기서 $\pm$은 두 가지 근을 의미합니다. 이 공식은 판별식 $�={�}^2-4��$를 이용하여 실근과 허근을 판별하고, 그에 따라 근의 형태를 결정합니다.

• $�>0$이면 판별식이 양수이므로, 두 개의 서로 다른 실근을 가집니다.
• $�=0$이면 판별식이 0이므로, 중근(중복된 근)을 가집니다.
• $�<0$이면 판별식이 음수이므로, 두 개의 서로 다른 허근을 가집니다.

따라서 이 공식을 이용하여 주어진 2차방정식의 근을 구할 수 있습니다.

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2차방정식 근의 공식 유도해 주세요

ChatGPT

물론입니다. 2차방정식의 근의 공식을 유도해보겠습니다.

주어진 2차방정식은 다음과 같습니다: $�{�}^2+��+�=0$ (여기서 $�\mathrm{\ne }0$)

1. 이 방정식을 x에 관한 완전제곱의 형태로 바꾸기 위해 먼저 양변을 a로 나눕니다.

${�}^2+\frac{�}{�}�+\frac{�}{�}=0$

2. 이제 상수항을 우변으로 옮겨서 완전제곱의 형태로 만들어봅시다.

${�}^2+\frac{�}{�}�=-\frac{�}{�}$

3. 이제 좌변을 완전제곱의 형태로 만들기 위해 상수항을 좌변에 더해줍니다. 이를 위해 ${\left(\frac{�}{2�}\right)}^2$를 더하고 빼줍니다.

${�}^2+\frac{�}{�}�+{\left(\frac{�}{2�}\right)}^2=-\frac{�}{�}+{\left(\frac{�}{2�}\right)}^2$

${�}^2+\frac{�}{�}�+{\left(\frac{�}{2�}\right)}^2=-\frac{�}{�}+\frac{{�}^2}{4{�}^2}$

4. 좌변을 완전제곱의 형태로 만들어줍니다.

${(�+\frac{�}{2�})}^2=\frac{{�}^2-4��}{4{�}^2}$

5. 양변을 제곱근을 씌워줍니다.

$�+\frac{�}{2�}=\pm \sqrt{\frac{{�}^2-4��}{4{�}^2}}$

$�+\frac{�}{2�}=\pm \frac{\sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

6. $\frac{�}{2�}$를 좌변에서 빼줍니다.

$�=-\frac{�}{2�}\pm \frac{\sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

7. 분수를 통합하여 정리합니다.

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

이것이 2차방정식의 근의 공식입니다.

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